Prefata 9 Introducere 11 I Teoria de echilibru MHD a unei plasme ideale 13 1 Modelul MHD ideal 15 1.1 Descrierea modelului MHD ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.1 Densitatea de curent paralel când plasma se afla la echilibru . . 17 ˘ 1.2 Conditii pe frontiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ˘ 1.2.1 Plasma marginita de perete perfect conductor . . . . . . . . . . 19 ˘ 1.2.2 Plasma separata de peretele perfect conductor printr-o regiune de vid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3 Solutii probleme capitolul 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 Descrierea calitativa a echilibrului MHD ˘ 23 2.1 Modelul MHD de echilibru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.1 Suprafete de flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.2 Suprafetele de curent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.3 Presiunea magnetica ¸ si tensiunea magnetica . . . . . . . . . . . 26 ˘ 2.2 Echilibrul radial de presiune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.1 Configuratia µ-pinch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.2 Configuratia z-pinch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.3 Configuratia de curent elicoidal (screw-pinch) . . . . . . . . . . 32 2.2.4 Definitia parametrului ¯ pentru configuratia de curent elicoidal 33 2.3 Echilibrul fortelor toroidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.1 Forte toroidale orientate catre exterior . . . . . . . . . . . . . . 35 ˘ 2.3.2 Forta toroidala de echilibrare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ˘ 2.4 Solutii probleme capitolul 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3 Echilibrul plasmei cilindrice circulare 41 3.1 Curentul longitudinal, factorul de siguranta ¸ si forfecarea în cazul unei plasme cilindrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2 Aproxima¸tia raport de aspect mare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2.1 Model analitic pentru calcularea echilibrului fortelor toroidale . 46 5 3.3 Solutii probleme capitolul 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4 Ecuatiile de echilibru a unei plasme exprimate în coordonate curbilinii 59 4.1 Componentele câmpului magnetic în sisteme de coordonate curbilinii . 59 4.1.1 Componentele covariante si contravariante ale câmpului magnetic în geometria cilindrica . . . . . . . . . . . . 63 ˘ 4.2 Reprezentari ale câmpului magnetic toroidal . . . . . . . . . . . . . . . 64 ˘ 4.2.1 Reprezentarea Clebsch a câmpului magnetic . . . . . . . . . . . 64 4.2.2 Coordonate de flux magnetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.2.3 Coordonatele de simetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.3 Componentele densitatii de curent în coordonate curbilinii . . . . . . . 68 4.4 Conditia pentru echilibrul plasmei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.5 Conditia de echilibru oscilant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.6 Relatiile dintre câmpuri si curenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.7 Solu¸tii probleme capitolul 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5 Echilibrul unei plasme în sisteme axisimetrice. Ecuatia Grad-Shafranov. 77 5.1 Deplasarea axei magnetice ¸si coeficien¸tii metrici . . . . . . . . . . . . . 82 5.2 Solutii probleme capitolul 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 II Stabilitatea MHD ideala 91 ˘ 6 Conceptul de stabilitate 93 6.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.2 Conceptul de stabilitate marginala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 ˘ 6.3 Conceptul linii de câmp magnetic înghe¸tate . . . . . . . . . . . . . . . 95 7 Formularea generala a problemei stabilit ˘ a¸˘tii plasmei MHD ideale 97 7.1 Conceptul de stabilitate liniara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 ˘ 7.2 Ecua¸tiile de stabilitate liniara MHD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 ˘ 7.2.1 Termeni dominan¸ti în viteza de curgere a plasmei . . . . . . . . 100 7.3 Ecua¸tiile MHD liniarizate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 7.3.1 Ecua¸tia de mi¸scare liniarizata în perturba¸ ˘ tii . . . . . . . . . . . 101 7.3.2 Rela¸tia dintre perturba¸tia presiunii ¸si vectorul deplasare . . . . 102 7.3.3 Rela¸tia dintre perturba¸tia câmpului magnetic ¸si vectorul deplasare102 7.3.4 Ecua¸tia pentru varia¸tia spa¸tiala a perturba¸ ˘ tiei curentului toroidal de-a lungul câmpului magnetic de echilibru. . . . . . . . . . . . 103 7.3.5 Rela¸tia pentru perturba¸tia curentului radial . . . . . . . . . . . 103 7.3.6 Ecua¸tia mi¸scarii perturbate de-a lungul câmpului ˘ magnetic de echilibru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 7.4 Forta datorata perturba¸ ˘ tiei ce ac¸tioneaza asupra ˘ fluidului de plasma . 104 ˘ 7.4.1 O proprietate generala a stabilit ˘ a¸˘tii MHD liniare . . . . . . . . 105 7.4.2 Metoda modului normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 7.4.3 Formularea variationala a problemei stabilitatii . . . . . . . . . 106 7.5 Solutii probleme capitolul 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6 8 Principiul energiei în magnetohidrodinamica ideala 111 ˘ 8.1 Conditii pe frontiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 ˘ 8.2 Principiul extins al energiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 8.3 Interpretarea intuitiva a energiei ˘ fluidului de plasma . . . . . . . . . . 116 ˘ 8.4 Solutii probleme capitolul 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 9 Plasma omogena infinita - unde MHD ˘ 119 9.1 Deducerea generala a undelor MHD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 ˘ 9.1.1 Unda Alfven de forfecare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 9.1.2 Unda Alfven compresionala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 ˘ 9.1.3 Unda sonora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 ˘ 9.2 Solutii probleme capitolul 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 10 Problema stabilitatii în aproximatia cilindrica 1 ˘ 27 10.1 Perturbatii ideale la limita de stabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 10.1.1 Structura de mod toroidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 10.1.2 Solu¸tia pentru Y în functie de X . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 10.1.3 Ecuatia pentru X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 10.2 Principiul energiei pentru configuratia curent elicoidal (screw-pinch) . 137 10.2.1 Evaluarea termenului de plasma˘ ±Wplasma˘ . . . . . . . . . . . . 138 10.3 Solutii probleme capitolul 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 11 Efecte inertiale în plasma ideal conductoare 154 11.1 Stabilitatea unei plasme cilindrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 11.1.1 Expresia lui »µ ¸si a derivatei sale în func¸tie de X . . . . . . . . 156 11.1.2 Evaluarea lui L1in (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 11.2 Efecte inertiale în vecinatatea suprafetei magnetice rezonante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 11.3 Solutii probleme capitolul 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 III Instabilitati MHD 169 12 Clasificarea instabilitatilor MHD ideale 171 12.1 Moduri interne si moduri externe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 12.2 Moduri determinate de presiune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 12.2.1 Moduri de interschimb (interchange modes) . . . . . . . . . . . 172 12.2.2 Moduri balon (ballooning modes) . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 12.3 Moduri determinate de curent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 12.3.1 Moduri de rasucire ( ˘ kink modes) . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 13 Instabilitati de tip Rayleigh-Taylor 178 13.1 Instabilitatea Rayleigh-Taylor în fluide neutre . . . . . . . . . . . . . . 178 13.1.1 Metoda energiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 13.1.2 Metoda modului normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 13.2 Instabilitatea Rayleigh-Taylor în fluide cu conductivitate electrica finita aflate în câmp magnetic . . . . . . . . . 185 7 14 Instabilita¸˘tile unei plasme cilindrice 191 14.1 Instabilita¸˘tile unei plasme cilindrice cu frontiera net ˘ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 ˘ 14.1.1 Ecua¸tia de dispersie pentru modul cu m = 0 . . . . . . . . . . 193 14.1.2 Ecua¸tia de dispersie pentru modul cu m = 1 . . . . . . . . . . 194 14.1.3 Ecua¸tia de dispersie în cazul -Bez- >> -Bµ- . . . . . . . . . . . 196 14.2 Moduri de interschimb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 14.2.1 Criteriul de stabilitate Suydam . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 14.2.2 Principiul energiei pentru modurile de interschimb . . . . . . . 200 14.2.3 Rela¸tia de dispersie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 15 Instabilita¸˘ti de tip balon 206 15.1 Periodicitate, lungime de unda paralel ˘ a mare ¸ ˘ si forfecare . . . . . . . . 206 15.2 Stabilitatea magnetohidrodinamica a plasmei toroidale la moduri balon 207 ˘ 15.3 Condi¸tia de interschimb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 16 Instabilita¸˘ti de rasucire 212 ˘ 16.1 Moduri interne de rasucire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 ˘ 16.2 Moduri externe de rasucire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 ˘ 16.2.1 Instabilitatea Kruskal-Shafranov m = 1 . . . . . . . . . . . . . 215 16.2.2 Moduri externe de rasucire cu ˘ m ≥ 2 . . . . . . . . . . . . . . . 216 A Coordonate curbilinii 218 A.1 Informa¸tii generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 A.1.1 Interpretare geometrica a coordonatelor curbilinii . ˘ . . . . . . . 219 A.2 Componente covariante ¸si componente contravariante. Tensorul metric. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 A.2.1 Lungimea unui vector în coordonate curbilinii . . . . . . . . . . 222 A.3 Analiza vectoriala în sisteme de coordonate curbilinii . . . . . . . . . . 223 ˘ A.4 Coordonate curbilinii ortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 A.4.1 Factori de scala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 ˘ A.4.2 Operatori diferen¸tiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 A.5 Cazuri particulare de sisteme ortogonale de coordonate . . . . . . . . . 226 A.5.1 Sistem de coordonate cartezian . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 A.5.2 Sistem de coordonate cilindric axial . . . . . . . . . . . . . . . 227 A.5.3 Sistem de coordonate toroidale axisimetrice . . . . . . . . . . . 230 A.6 Identita¸˘ti vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 A.7 Identita¸˘ti de calcul operatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Bibliografie 234