Cartea pe care o prefaţăm, intitulată „Capitole speciale de algebră”, scrisă de cunoscutul profesor botoşănean Ioan Băetu împreună cu fiul său, studentul ieşeanCiprian Băetu,este o lucrare cu totul specială,făcând o notă aparte în publicistica matematică şcolară. Această lucrare reprezintă o incursiune originală şi profundă în studiul câtorva structuri algebrice finite (grup, inel, corp), studiu ale cărui baze se pun încă din liceu. Totodată, ea continuă şi finalizează unele cercetări mai vechi ale primului autor, cuprinse în cartea acestuia „Structuri finite”, Ed. „Axa” Botoşani, 2005. Structura cărţii de faţă constă în şapte capitole, dintre care şase sunt teoretice şi unul aplicativ, fiind alcătuit din probleme. Le vom analiza pe rând.
Capitolul I, intitulat „Grupuri finite” conţine în esenţă rezultate legate de comutativitatea grupurilor finite. Reţinem teorema 1.5 (ecuaţia claselor), propoziţia 1.9 (grupurile de ordin p2, p prim, sunt abeliene), teorema 1.12 (caracterizează grupurile abeliene de ordin liber de cuburi), dar şi teorema 2.10 (un rezultat mai restrictiv, de tipul teoremei 1.12, pentru grupurile de ordin p3, p prim). Capitolul II, „Inele de polinoame”, stabileşte mai întâi câteva rezultate de bază despre polinoame, din care reţinem propoziţia 1.1 (extinderea teoremei împărţirii cu rest la inele de polinoame cu coeficienţi într-un inel comutativ), teorema 1.5 (un polinom de grad n peste un corp comutativ are n rădăcini într-o anumită extindere a acestui corp), apoi investighează polinoamele cu rădăcinile de acelaşi modul şi aici reţinem teorema 2.3 (arată o „reciprocitate ponderată” a coeficienţilor acestor polinoame), în fine, studiază condiţii suficiente ca un polinom să aibă toate rădăcinile reale (teoremele 3.8, 3.9).
Capitolul III, „Inele”, abordează extinderi finite de corpuri, extinderi algebrice de tipul inel peste un corp comutativ şi reţinem aici propoziţia 1.3 (relaţia gradelor), teorema 3.9 (orice subgrup multiplicativ finit format cu elemente nenule ale unui domeniu de integritate este ciclic), teorema 3.16 (într-un domeniu de integritate de caracteristică p prim, cu un număr finit de unităţi, unităţile împreună cu 0 constituie un corp), propoziţia 3.18 (variaţiune pe tema teoremei 3.16), propoziţia 4.4 precum şi teorema 4.7 (un inel de cardinal impar, în care unităţile împreună cu 0 constituie un corp este el însuşi un corp).
Capitolul IV, „Corpuri finite”, studiază automorfismele unui corp finit şi reţinem teorema 1.6 şi propoziţia 1.7 (într-un corp cu pn elemente, p prim, automorfismele formează un grup ciclic de ordin n, generat de automorfismul lui Frobenius), puterile de exponent prim ale elementelor unui corp finit şi aici reţinem teorema 2.3, precum şi teoremele „de reprezentare” 2.13 şi 2.14.
Capitolul V, „Caracterizarea corpurilor finite folosind ecuaţiile algebrice” studiază mai întâi grupul unităţilor unui inel obţinut prin adjuncţia la corpul p a unui element algebric (dintr-un suprainel al lui p ) şi notăm aici teoremele 1.4 şi 1.5, apoi stabileşte caracterizarea de care vorbeşte titlul capitolului prin teoremele 2.4, 2.8, 2.9, 2.10 (un inel finit de caracteristică p prim şi cardinal pn, n prim, este corp dacă şi numai dacă există un element al inelului ce verifică un anumit polinom cu toţi coeficienţii egali cu 1). În cartea citată din anul 2005, primul autor reuşise aceste rezultate doar pentru n aparține{2,3,5}.
Capitolul VI, intitulat „Rădăcinile unităţii unor corpuri de numere” investighează grupul format din rădăcinile unităţii conţinute în corpuri pătratice, în corpuri bipătratice şi mai general, în corpuri obţinute prin adjuncţia la corpul rădăcinilor pătratice din nişte numere prime întregi (în număr finit). Rezultatele obţinute sunt spectaculoase şi constituie suportul teoremelor 1.6, 1.7, 2.14, 3.15 (în esenţă, aceste grupuri sunt de tipul Ud , unde d este un divizor natural al lui 24). Capitolul ne reţine atenţia şi prin câteva rezultate „colaterale” cum ar fi teoremele de ireductibilitate 2.7, 2.8, propoziţia 2.9 (dă gradul unei anumite extinderi a corpului ) sau teorema 3.10 (rădăcinile pătrate ale numerelor naturale impare aparţin unor corpuri ciclotomice).
În fine, capitolul VII, „Aplicaţii”, conţine 50 de probleme grele dar reprezentative, însoţite de soluţii detaliate. O bună parte din aceste probleme a făcut obiectul fazelor superioare (judeţeană, naţională) ale olimpiadei de matematică, dar multe probleme sunt originale. Autorii cărţii au indicat paternitatea tuturor problemelor, ceea ce constituie un act de onestitate şi recunoştinţă. Prezentarea materialului cuprins în această carte este în bună parte originală, autorii reuşind să trateze într-un mod personal chestiuni de mare fineţe şi frumuseţe legate de structuri algebrice finite. De altfel, „finitudinea” este laitmotivul lucrării. Această carte este, înainte de toate, un opus ştiinţific. Dar este de luat în seamă şi aspectul didactic, dat mai ales de ultimul capitol (de probleme), dar şi de stilul extrem de relevant, cu formulări clare şi demonstraţii sau soluţii detaliate. Lectura acestei cărţi poate fi anevoioasă, dar cu siguranţă va fi una plină de satisfacţii, pentru că acel cititor ce va avea tenacitatea să o întreprindă, va dobândi cunoştinţe de algebră deosebite. Cartea se adresează profesorilor, studenţilor, cercetătorilor, dar şi elevilor foarte buni, care se pregătesc pentru olimpiade sau alte competiţii. Toată admiraţia pentru această realizare de excepţie a celor doi autori şi întreaga gratitudine editurii TAIDA din Iaşi, care face un act de cultură prin publicarea acestei cărţi!