Prefaţă ............................................................................................................................ v

CAPITOLUL 1. PROPRIETĂŢI GENERALE ALE SPAŢIILOR TOPOLOGICE ...................... 11

1.1. Definiţia spaţiului topologic. Exemple. Noţiunea de vecinătate şi

de punct interior pentru o mulţime .............................................................. 11

1.2. Mulţimi închise. Aderenţa, derivata, frontiera unei mulţimi.

Mulţimi dense ............................................................................................... 17

1.3. Bază de vecinătăţi a unui punct într-un spaţiu topologic. Bază de

deschişi, spaţii cu bază numărabilă ............................................................... 27

1.4. Noţiunea de subspaţiu topologic. Topologia indusă ....................................... 30

1.5. Şiruri generalizate şi filtre în spaţii topologice ................................................ 32

1.6. Familii de topologii pe o mulţime dată. Relaţia de ordine între

două topologii ............................................................................................... 41

1.7. Limită şi continuitate în spaţii topologice ....................................................... 48

1.8. Generarea unei topologii folosind proprietăţile familiei

vecinătăţilor unui punct arbitrar într-un spaţiu topologic ............................ 58

CAPITOLUL 2. TIPURI PARTICULARE DE SPAŢII TOPOLOGICE .................................. 60

2.1. Spaţii topologice separate ............................................................................... 60

2.2. Spaţii topologice separabile ............................................................................ 63

2.3. Spaţii topologice regulate ................................................................................ 65

2.4. Spaţii topologice compacte ............................................................................. 67

2.5. Spaţii topologice local compacte. Compactificarea Alexandrov.

Cercul şi sfera lui Riemann ............................................................................ 79

2.6. Spaţii topologice normale ............................................................................... 84

2.7. Spaţii topologice conexe ................................................................................. 86

2.8. Produse de spaţii topologice ........................................................................... 94

CAPITOLUL 3. SPAŢII METRICE ............................................................................. 104

3.1. Definiţie, exemple, proprietăţi generale ....................................................... 104

3.2. Spaţii metrice complete ................................................................................ 120

3.3. Metrici topologic şi uniform echivalente ...................................................... 130

3.4. Spaţii metrice compacte ................................................................................ 134

3.5. Spaţii Baire ..................................................................................................... 141

3.6. Spaţii metrice conexe .................................................................................... 145

3.7. Compactificarea Čech-Stone. Condiţii pentru ca un spaţiu

topologic să fie metrizabil ........................................................................... 148

CAPITOLUL 4. SPAŢII VECTORIALE TOPOLOGICE ................................................... 160

4.0. Spaţii vectoriale. Definiţii, exemple, proprietăţi generale ............................ 160

4.1. Tipuri remarcabile de mulţimi în spaţii vectoriale ......................................... 169

ix

4.2. Funcţionale liniare şi subliniare. Seminorme şi norme.

Funcţionala Minkowski. Teorema Hahn-Banach ........................................ 176

4.3. Varietăţi liniare şi hiperplane. Proprietăţi de separare ................................. 184

4.4. Spaţii vectoriale topologice. Definiţie, exemple, proprietăţi

generale ...................................................................................................... 190

4.5. Mulţimi convexe, mărginite, total mărginite şi compacte în spaţii

vectoriale topologice ................................................................................... 198

4.6. Spaţii local convexe ....................................................................................... 204

4.7. Topologia slabă pe un spaţiu local convex .................................................... 211

CAPITOLUL 5. SPAŢII VECTORIALE NORMATE ....................................................... 212

5.1. Definiţii, exemple, proprietăţi generale ........................................................ 212

5.2. Spaţii vectoriale normate finit dimensionale ................................................ 219

5.3. Spaţii Banach. Definiţie, proprietăţi, exemple de spaţii Banach ................... 227

5.4. Operatori liniari şi continui. Definiţie, exemple. Spaţiul

operatorilor liniari şi continui ...................................................................... 238

5.5. Principii fundamentale ale Analizei Funcţionale ........................................... 246

5.6. Dualul unui spaţiu vectorial normat .............................................................. 250

5.7. Caracterizarea dualelor unor spaţii concrete ................................................ 259

5.8. Comparaţii între spaţii metrice, spaţii vectoriale topologice şi

spaţii vectoriale normate. Condiţia de normabilitate a unui

spaţiu vectorial topologic ............................................................................ 271

CAPITOLUL 6. INTRODUCERE ÎN TEORIA DISTRIBUŢIILOR ..................................... 275

6.0. Preliminarii .................................................................................................... 275

6.1. Spaţiul lui Schwartz ....................................................................................... 277

6.2. Noţiunea de distribuţie. Definiţie, exemple .................................................. 284

6.3. Operaţii cu distribuţii ..................................................................................... 289

6.4. Aplicaţii ale distribuţiilor ............................................................................... 299

ANEXĂ. ELEMENTE DE TEORIA MĂSURII .............................................................. 306

A.1. CLASE DE MULŢIMI ........................................................................................ 306

A.2. MĂSURI POZITIVE. DEFINIŢII, EXEMPLE, PROPRIETĂŢI ................................. 309

A.3. FUNCŢII MĂSURABILE ................................................................................... 315

A.4. INTEGRALA UNEI FUNCŢII REALE ÎN RAPORT CU O MĂSURĂ

POZITIVĂ...................................................................................................... 319

INDEX DE NOŢIUNI .............................................................................................. 326

BIBLIOGRAFIE ...................................................................................................... 336

x